Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁、F₂，离心率为

2

2

，通径长（过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆相交线段的长）为2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆相交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）两点，△OMN面积为2

2

，试问x₁²+x₂²能否为定值？如果为定值，求出该值；否则，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：本题（Ⅰ）利用椭圆的离心率和通径的长，求出椭圆的参数a，b，c的值，得到椭圆的方程；（Ⅱ）设出直线l的斜率k得到直线l的方程，利用三角形面积为定值得到两点M、N的坐标关系，再用韦达定理求出x₁²+x₂²的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意

c

a

=

2

2

，知a=

2

c，b=c，
∴椭圆的方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
当x=c时，y=±

2

2

c，
∴通径长2×

2

2

c=

2

c=2

2

，
得c=2，
∴a=2

2

，b=2，
故椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，M、N两点关于x轴对称，则x₁=x₂，
由点M（x₁，y₁）在椭圆上，则

x 2 1

8

+

y 2 1

4

=1，
而S△OMN=|x1y1|=2

2

，
∴|x₁|=2，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=8；   
当直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，
代入

x2

8

+

y2

4

=1，可得：x²+2（kx+m）²=8，
即（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，
∴x₁、x₂是方程的两根，则：△=16m²k²-4（1+2k²）•（2m²-8）=8（4+8k²-m²）＞0
x1+x2=-

4mk

1+2k2

，x1•x2=

2m2-8

1+2k2

，
|MN|=

1+k2

•

8(4+8k2-m2)

1+2k2

=2

2

•

1+k2

•

4+8k2-m2

1+2k2

，
d=

|m|

1+k2

，
S△OMN=

1

2

•|MN|•d=

1

2

×2

2

•

1+k2

•

4+8k2-m2

1+2k2

×

|m|

1+k2

=2

2

则2（1+2k²）=m²，满足△＞0

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1•x2=

16m2k2

(1+2k2)2

-

2(2m2-8)

1+2k2

=

32k2

1+2k2

-

2(2m2-8)

1+2k2

=

32k2+16-4m2

1+2k2

=8，
综上可知

x

2 1

+

x

2 2

=8．

点评：本题考查了函数方程思想，将题中的几何条件代数化．本题计算思维难度适中，计算量较大，属于中档题．