Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-4，数列{b_n}的首项为6，（

bn

，0）是双曲线a_nx²-a_n-1y²=a_na_n-1的一个焦点．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线a_nx²-a_n-1y²=a_na_n-1的离心率为e_n（n≥2），求证：不等式

n

k=1

9(k+1)

k2•bk•bk+1

＜

1

4

+log9en对任意整数n≥2恒成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）在数列递推式S_n=2a_n-4中，取n=1求得首项，结合a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求数列{a_n}的通项公式，代入
a_nx²-a_n-1y²=a_na_n-1后再由（

bn

，0）是双曲线a_nx²-a_n-1y²=a_na_n-1的一个焦点求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由双曲线方程求得离心率为e_n=

3

，然后分别证明

1

4

+log9en=

1

4

+log9

3

=

1

2

，

n

k=1

9(k+1)

k2•bk•bk+1

＜

1

2

得要证的结论．

解答： 解：（Ⅰ）当n≥2时，由S_n=2a_n-4  ①，得S_n-1=2a_n-1-4  ②，
由①-②可得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
又当n=1时，S₁=a₁=2a₁-4，
∴a₁=4，
故数列{a_n}是以4为首项，2为公比的等比数列，
从而an=4×2n-1=2n+1，
由anx2-an-1y2=anan-1，
得：

x2

2n

-

y2

2n+1

=1，
∴bn=2n+2n+1=3•2n；
（Ⅱ）证明：由双曲线的方程

x2

2n

-

y2

2n+1

=1，
知a=2

n

2

，c=

3

•2

n

2

，故en=

3

为常数，从而

1

4

+log9en=

1

4

+log9

3

=

1

2

，
记cn=

9(n+1)

n2•bn•bn+1

，
则cn=

n+1

n2•2n•2n+1

＜

n+1

(n-1)n•2n•2n+1

=

1

(n-1)•2n

-

1

n•2n+1

(n≥2)，
从而当n≥2时，

n

k=1

9(k+1)

k2•bk•bk+1

＜

1+1

23

+

1

1×22

-

1

2×23

+

1

2×23

-

1

3×24

+…+

1

(n-1)•2n

-

1

n•2n+1

=

1

2

-

1

n•2n+1

＜

1

2

当n=1时，

n

k=1

9(k+1)

k2•bk•bk+1

=

1

4

综上可知，不等式

n

k=1

9(k+1)

k2•bk•bk+1

＜

1

4

+log9en对一切自然数n恒成立．

点评：本题考查了由数列递推式求数列的通项公式，考查了放缩法证明数列不等式，训练了裂项相消法求数列的和，是压轴题．