Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

3

，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

2

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出所有的P点的坐标及l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设F（c，0），则直线l的方程为x-y-c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．
（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y₁+y₂和y₁y₂的表达式，假设存在点P，使

OP

=

OA

+

OB

成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．

解答： 解：（1）设F（c，0），直线l：x-y-c=0，
∵坐标原点O到l的距离为

2

2

，
∴

|0-0-c|

2

=

2

2

，解得c=1
又e=

c

a

=

3

3

，
∴a=

3

，b=

2

，
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则
由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1，
代入椭圆的方程中整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，显然△＞0．
由韦达定理有：y₁+y₂=-

4m

2m2+3

，y₁y₂=-

4

2m2+3

，①
假设存在点P，使

OP

=

OA

+

OB

成立，则其充要条件为：
点P的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂），点P在椭圆上，即

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1．
整理得2x₁²+3y₁²+2x₂²+3y₂²+4x₁x₂+6y₁y₂=6．
又A、B在椭圆上，即2x₁²+3y₁²=6，2x₂²+3y₂²=6、
故2x₁x₂+3y₁y₂+3=0②
将x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1及①代入②解得m2=

1

2

∴y₁+y₂=±

2

2

，
x₁+x₂=-

4m

2m2+3

+2=

3

2

，即P（

3

2

，±

2

2

），
∴直线l的方程为x=±

2

2

y+1．

点评：本题考查椭圆C的方程的求法，探究椭圆C上是否存在点P，使得

OP

=

OA

+

OB

成立，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，有难度．