Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，则在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log₂（x+2）=0的零点的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数的周期性,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性和对称性可以得到函数是周期函数，然后将方程转化为两个函数，利用数形结合即可得到两个函数图象的交点个数，即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），
∴f（x-2）=f（x+2）=f（2-x），
即f（x）=f（x+4），即函数的周期是4．
当x∈[0，2]时，-x∈[-2，0]，
此时f（-x）=（

1

2

）^-x-1=f（x），
即f（x）=（

1

2

）^-x-1，x∈[0，2]．
由f（x）-log₂（x+2）=0得：
f（x）=log₂（x+2），
分别作出函数f（x）和y=log₂（x+2）图象如图：
则由图象可知两个图象的交点个数为4个，
即方程f（x）-log₂（x+2）=0的零点的个数是4个．
故选：D．

点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数的奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．