Question

已知直线l：ax+by+c=0．
（Ⅰ）求证：直线ax+by+c=0通过定点（1，1）的充要条件是a+b+c=0（a，b，c不全为0）；
（Ⅱ）若直线l：ax+by+c=0与直线2x+y+3=0平行，求

a-3b

a+b

的值．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系,直线的一般式方程与直线的平行关系

专题：直线与圆

分析：（I）充分性：a+b+c=0⇒a•1+b•1+c=0，即点（1，1）满足方程ax+by+c=0．
必要性：若直线ax+by+c=0过定点（1，1）⇒a+b+c=0．
（II）直线l：ax+by+c=0与直线2x+y+3=0平行，可得

a

2

=

b

1

⇒

a

b

=2．化简

a-3b

a+b

=

a b -3

a b +1

即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）充分性：若a+b+c=0，则a•1+b•1+c=0，即点（1，1）满足方程ax+by+c=0，即直线ax+by+c=0过定点（1，1）．
必要性：若直线ax+by+c=0过定点（1，1），则坐标（1，1）满足方程ax+by+c=0，即a•1+b•1+c=0，即a+b+c=0．
（Ⅱ）∵直线l：ax+by+c=0与直线2x+y+3=0平行，∴

a

2

=

b

1

⇒

a

b

=2．
∴

a-3b

a+b

=

a b -3

a b +1

=-

1

3

．

点评：本题考查了直线过定点问题、充要条件、直线平行于斜率之间的关系，属于基础题．