Question

若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

m

72

对于大于1的一切正整数n都成立，则正整数m的最大值为（　　）

• A、43
• B、42
• C、41
• D、40

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤，通过n=2，假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式也成立，即可证明结果．

解答： 解：n=2时，

1

3

+

1

4

＞

m

72

，∴m＜42．
而m是正整数，所以取m=41．
下面用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

41

72

．
（1）当n=2时，已证；
（2）假设当n=k时，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

＞

41

72

．
则当n=k+1时，有

1

(k+1)+1

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

41

72

+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

因为

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

＞0，
所以

1

(k+1)+1

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＞

41

72

．
所以当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数n，都有：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

41

72

．
故选C．

点评：本题考查数学归纳法证明猜想的步骤，注意证明n=k+1时必须用上假设，注意证明的方法，考查计算能力．