题目内容
甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%，20%的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．记a1=10%，b1=20%，经n-1（n≥2）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为an，bn
（Ⅰ）试用an-1，bn-1表示an，bn；
（Ⅱ）求证：数列{an-bn}是等比数列，数列{an+bn}是常数列．
（Ⅰ）试用an-1，bn-1表示an，bn；
（Ⅱ）求证：数列{an-bn}是等比数列，数列{an+bn}是常数列．
考点：等比数列的性质
专题：应用题,等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）由题意，经n-1（n≥2，n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为an，bn，从而可用an-1，bn-1表示an，bn；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，化简可得结论
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，化简可得结论
解答：
（Ⅰ）解：由题意，经n-1（n≥2，n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为an，bn，
∴an=
=
an-1+
bn-1，
bn=
=
bn-1+
an-1；
（Ⅱ）证明：由（1）知，bn-an=（
bn-1+
an-1）-（
an-1+
bn-1）=
（bn-1-an-1）（n≥2）．
可知数列{bn-an}为首项是b1-a1=10%，公比为
的等比数列，
∴bn-an=（b1-a1）（
）n-1=10%•（
）n-1=
•（
）n-1；
bn+an=（
bn-1+
an-1）+（
an-1+
bn-1）=bn-1+an-1，
∴数列{an+bn}是常数列．
∴an=
| 400an-1+100bn-1 |
| 500 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
bn=
| 400bn-1+100an-1 |
| 500 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
（Ⅱ）证明：由（1）知，bn-an=（
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
可知数列{bn-an}为首项是b1-a1=10%，公比为
| 3 |
| 5 |
∴bn-an=（b1-a1）（
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
bn+an=（
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
∴数列{an+bn}是常数列．
点评：本题考查数列的性质和应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
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