Question

已知数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列．已知a₅=b₅，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a5=b5=b1q5-1=1×34=81，d=

a5-a1

5-1

=

81-1

4

=20，由此能求出a_n．
（2）令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)•3n-1，由此利用错位相减法能求出{a_n•b_n}的前n项和．

解答： 解：（1）依题意，a5=b5=b1q5-1=1×34=81，
故d=

a5-a1

5-1

=

81-1

4

=20，…（3分）
所以a_n=1+20（n-1）=20n-19．…（6分）
（2）∵a_n=1+20（n-1）=20n-19，b_n=3^n-1，
∴a_n•b_n=（20n-19）•3^n-1，
令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)•3n-1，①
则3Sn=1×3+21×32+…+(20n-39)•3n-1+(20n-19)•3n，②
①-②得，-2Sn=1+20×(3+32+…+3n-1)-(20n-19)•3n …（9分）
=1+20×

3(1-3n-1)

1-3

-(20n-19)•3n 
=（29-20n）•3ⁿ-29，
所以Sn=

(20n-29)•3n+29

2

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．