Question

设函数f（x，y）=（1+

m

y

）^x（m＞0，y＞0），若f（4，y）=a₀+

a1

y

+

a2

y2

+

a3

y3

+

a4

y4

且a₃=32，求∑a_i．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,二项式定理

分析：令x=4，y=1，则f（4，1）=（1+m）⁴，再根据a₃=32，求得m的值，再根二项式定理，求的答案．

解答： 解：令x=4，y=1，
则f（4，1）=（1+m）⁴，
∴a₃=

C

3 4

m3，
∵f（4，y）=a₀+

a1

y

+

a2

y2

+

a3

y3

+

a4

y4

且a₃=32，
当y=1时，
∴f（4，1）=a₀ +a₁ +a₂ +a₃ +a₄，
∴a₃=

C

3 4

m3=32，
解得m=2，
∴∑a_i=a₁ +a₂ +…+a_n=f（n，1）-a₀=（1+2）ⁿ-1=3ⁿ-1

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．