题目内容
已知命题p：“对任意x∈R，都有x2+2x+a＞0恒成立”与命题q：“存在x∈R，x2+ax+4=0”都是真命题，求实数a的取值范围．
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：P为真，则是一个二次不等式恒成立问题，结合图象只需判别式小于0即可；
Q为真，即关于x的一元二次方程有解，只需判别式大于或等于0即可；
因为都为真，所以取两者的交集即为所求．
Q为真，即关于x的一元二次方程有解，只需判别式大于或等于0即可；
因为都为真，所以取两者的交集即为所求．
解答：
解：对于命题P：因为对任意x∈R，都有x2+2x+a＞0恒成立，
所以，二次函数y=x2+2x+a的图象都在x轴上方，
因此只需△=4-4a＜0，解得a＞1①；
对于命题Q：因为存在x∈R，x2+ax+4=0，
所以方程x2+ax+4=0有实数根，
所以只需△=a2-4×4≥0，解得a≤-4或a≥4②；
若P，Q都是真命题，则①②式同时成立，联立①②
解得a≥4．
所以，二次函数y=x2+2x+a的图象都在x轴上方，
因此只需△=4-4a＜0，解得a＞1①；
对于命题Q：因为存在x∈R，x2+ax+4=0，
所以方程x2+ax+4=0有实数根，
所以只需△=a2-4×4≥0，解得a≤-4或a≥4②；
若P，Q都是真命题，则①②式同时成立，联立①②
解得a≥4．
点评：此题考查了不等式恒成立、一元二次方程根的存在性问题的解决方法，一般要运用的数形结合的思想求解，因此需要充分理解三个“二次”之间的关系．
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