Question

已知函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）已知f（t）+f（t-1）＜0，求t的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）是奇函数可得f（0）=0可求b，由f(

1

2

)=

2

5

可求a，进而可求f（x）；
（2）运用函数的单调性的定义证明：设自变量，作差，变形，定符号，下结论．
（3）由奇函数的定义，得到f（t）＜f（1-t），再由函数的单调性，得到不等式组，解出即可．

解答： （1）解：∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，即有b=0，
又f(

1

2

)=

2

5

，则

1 2 a+b

1+ 1 4

=

2

5

，解得a=1．
∴a=1，b=0．
（2）证明：由于f（x）=

x

1+x2

，
可设-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（x₁²+1）（x₂²+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，则f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解：∵f（t）+f（t-1）＜0，
∴f（t）＜-f（t-1）
∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（t）＜f（1-t），
∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜t＜1，且-1＜1-t＜1，且t＜1-t，
∴-1＜t＜1且0＜t＜2且t＜

1

2

，
∴0＜t＜

1

2

．
则t的取值范围是（0，

1

2

）．

点评：本题主要考查了奇函数的性质：f（0）=0的应用，利用该条件可以简化基本运算，函数单调性的定义的证明及应用，属于中档题．