题目内容
1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（-$\sqrt{3}$，0），M（1，y）（y＞0）为椭圆上的一点，△MOF1的面积为$\frac{3}{4}$．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点T在圆x2+y2=1上，是否存在过点 A（2，0）的直线l交椭圆C于点 B，使$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由已知列式c=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×y=\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，得a2，b2即可；
（2）设直线l的方程为：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k2）x2-16k2x+16k2-4=0，x1+x2=$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y1+y2=k（x1+x2）-4k=$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$，得T（$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$）代入 圆C1，可得化为176k4-24k2-5=0可求得k．
解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（-$\sqrt{3}$，0），∴c=$\sqrt{3}$
∵△MOF1的面积为$\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×y=\frac{3}{4}$，求得y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）为椭圆上的一点，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，解得a2=4，b2=1；
椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）假设存在过点A（2，0）的直线l交曲线C2于点B，使$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$），且点T在圆x2+y2=1上．
当直线的斜率不存在时，点A与点B重合，此时点T的坐标为（$\frac{4\sqrt{5}}{5}，0）$，显然不在圆上，不符合题意．
∴设直线l的方程为：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k2）x2-16k2x+16k2-4=0，
△＞0．∴x1+x2=$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y1+y2=k（x1+x2）-4k=$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$，
∴T（$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$）代入 圆C1，可得化为176k4-24k2-5=0，$\frac{1}{4}$，k=$±\frac{1}{2}$．
在过点A（2，0）的直线l交曲线C2于点B，使$\overrightarrow{{O}{T}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（${\overrightarrow{{O}{A}}$+$\overrightarrow{{O}{B}}}$），且点T在圆x2+y2=1上，
出直线l的方程为：y=±$\frac{1}{2}$（x-2）
点评 本题考查了、直线与圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
