Question

5．设实数x、y满足x+2xy-1=0，则x+y取值范围是$（-∞，-\sqrt{2}-\frac{1}{2}]$∪$[\sqrt{2}-\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 由x+2xy-1=0，可得y=$\frac{1-x}{2x}$，（x≠0）．则x+y=x+$\frac{1-x}{2x}$=x+$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2}$，对x分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x+2xy-1=0，∴y=$\frac{1-x}{2x}$，（x≠0）．
则x+y=x+$\frac{1-x}{2x}$=x+$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2}$，
x＞0时，x+y≥$2\sqrt{x•\frac{1}{2x}}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
x＜0时，x+y=$-（-x+\frac{1}{-2x}）$-$\frac{1}{2}$≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{1}{-2x}}$-$\frac{1}{2}$=-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，当且仅当x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
综上可得：x+y取值范围是$（-∞，-\sqrt{2}-\frac{1}{2}]$∪$[\sqrt{2}-\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案为：$（-∞，-\sqrt{2}-\frac{1}{2}]$∪$[\sqrt{2}-\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．