Question

11．设点M（m，0）在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是[1，4]．

Answer 1

分析 设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程可得-4≤x≤4．由|MP²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²
，结合二次函数的性质及椭圆的性质可知，取得最小值4m≥4，结合点M在椭圆的长轴上，可求m得范围

解答 解：设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，故-4≤x≤4．
|MP²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²
∵当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4时，|MP|²取得最小值，而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又点M在椭圆的长轴上，所以-4≤m≤4．故实数m的取值范围是[1，4]．
故答案为：1≤m≤4．

点评 本本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要注意椭圆的范围与二次函数的性质的应用是解决本题的关键．属于中档题．