Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+4lnx，若存在满足1≤x₀≤3的实数x₀，使得曲线f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与直线x+my-10=0垂直，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[5，+∞）
• B、[4，5]
• C、[4，

  13

  3

  ]
• D、（-∞，4]

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为-1，得到x₀+

4

x0

=m，再由基本不等式求出左边的最小值，代入端点1和3，比较得到最大值．

解答： 解：函数f（x）=

1

2

x²+4lnx的导数为f′（x）=x+

4

x

（x＞0）．
曲线f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率为x₀+

4

x0

，
由于切线垂直于直线x+my-10=0，则有x₀+

4

x0

=m，
由于1≤x₀≤3，则由x₀+

4

x0

≥2

x0• 4 x0

=4，当且仅当x₀=2∈[1，3]，取得最小值4；
当x₀=1时，取得最大值5．
故m的取值范围是[4，5]．
故选：B．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查两直线垂直的条件和基本不等式的运用，属于中档题．