Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为CC₁的中点
（1）求异面直线A₁M与C₁D₁所成的角的正切值；
（2）求证：平面ABM⊥平面A₁B₁M；
（3）求三棱锥B-A₁B₁M的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取DD₁中点N，连接MN，NA₁．证明∠A₁MN是异面直线A₁M与C₁D₁所成的角或其补角，
（2）由题设条件，先证明BM⊥平面A₁B₁M，再由BM?平面ABM，证明出平面ABM⊥平面A₁B₁M．
（3）利用V=

1

3

•S△ABM•BM可求三棱锥B-A₁B₁M的体积．

解答： （1）证明：取DD₁中点N，连接MN，NA₁．
因为C₁M∥D₁N，且C₁M=D₁N，所以MN∥C₁D₁．
所以∠A₁MN是异面直线A₁M与C₁D₁所成的角或其补角，
MN=C₁D₁=1，A1N=

2

，A1M=

3

，
因为MN2+A1N2=A1M2，所以∠A₁NM=90°，
所以tan∠A1MN=

A1N

MN

=

2

1

=

2

．          …（4分）
（2）证明：由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BM?平面BCC₁B₁，得A₁B₁⊥BM，①
∵A₁B₁⊥平面BCC₁B，∴∠A₁B₁M=90°，
而A₁B₁=1，B₁M=

2

，
又BM=

2

，B₁B=2，
∴B₁M²+BM²=B₁B²，从而BM⊥B₁M
又A₁B₁∩B₁M=B₁，再由①，②得BM⊥平面A₁B₁M，
而BM?平面ABM，
∴平面ABM⊥平面A₁B₁M．
（3）设三棱锥B-A₁B₁M的体积为V，则V=

1

3

•S△ABM•BM=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

2

=

1

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查三棱锥B-A₁B₁M的体积，解题时要注意空间思维能力的培养．