Question

已知，a，b，c＞0，求证：a³+b³+c³≥

1

3

(a2+b2+c2)（a+b+c）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明

分析：利用作差法，易证3（a³+b³+c³）-（a²+b²+c²）（a+b+c）=（a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（a+c）（a-c）²，又a，b，c＞0，从而可得a³+b³+c³≥

1

3

(a2+b2+c2)（a+b+c）．

解答： 证明：3（a³+b³+c³）-（a²+b²+c²）（a+b+c）
=3（a³+b³+c³）-（a³+b³+c³+a²b+b²a+a²c+c²a+b²c+c²b）
=[（a³+b³）-（a²b+b²a）]+[（b³+c³）-（b²c+c²b）]+[（a³+c³）-（a²c+c²a）]，
=[（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）]+[（b+c）（b²-bc+c²）-bc（b+c）]+[（a+c）（a²-ac+c²）-ac（a+c）]
=（a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（a+c）（a-c）²，
∵a，b，c＞0，
∴a+b＞0，（a-b）²≥0，
∴（a+b）（a-b）²≥0，同理可得（b+c）（b-c）²≥0，（a+c）（a-c）²≥0，
∴（a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（a+c）（a-c）²≥0，
∴a³+b³+c³≥

1

3

(a2+b2+c2)（a+b+c）．

点评：本题考查不等式的证明，考查作差法的应用，考查立方差公式与平方差公式的综合应用，考查变形、推理能力，属于中档题．