Question

过原点的二次函数y=f（x）的顶点为（-1，-1）
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求h（x）=f（lgx），（x＞0）的单调区间；
（3）若g(x)=

f(x)+k

x2+x+1

，x∈R的值域为[

2

3

，2]，求实数k的值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出二次函数的顶点式，由函数图象经过原点求得二次项系数，则函数解析式可求；
（2）由符合函数的单调性求解函数的单调区间；
（3）利用判别式法求解函数g（x）的值域，得到关于y的不等式后，不等式对应二次方程的根是值域端点值，然后利用根与系数关系求解k的值．

解答： 解：（1）∵二次函数y=f（x）的顶点为（-1，-1），
∴设二次函数f（x）=a（x+1）²-1，
又二次函数经过原点，则0=a（0+1）²-1，解得a=1．
∴y=f（x）的解析式为f（x）=（x+1）²-1=x²+2x；
（2）h（x）=f（lgx），
外层函数y=f（x）在（-∞，-1）上为减函数，在[-1，+∞）上为增函数，
由lgx=-1，得：x=

1

10

．
而内层函数y=lgx在（0，+∞）上为增函数，
由复合函数的单调性知：当x∈(0，

1

10

)时，函数h（x）=f（lgx）为减函数，
当x∈[

1

10

，+∞)时，函数h（x）=f（lgx）为增函数；
（3）令y=g（x）=

f(x)+k

x2+x+1

=

x2+2x+k

x2+x+1

，得
（y-1）x²+（y-2）x+y-k=0．
由△=（y-2）²-4（y-1）（y-k）=-3y²+4ky+4-4k≥0，得
3y²-4ky-4+4k≤0．
∵g(x)=

f(x)+k

x2+x+1

，x∈R的值域为[

2

3

，2]，
则

2

3

+2=

4k

3

，解得k=2．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，训练了复合函数的单调性的求法，考查了利用判别式法求函数的值域，体现了数学转化思想方法，是有一定难度题目．