Question

已知椭圆中心E在坐标原点，焦点在x轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）以椭圆E上的点P及焦点F₁，F₂为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件设椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)，将C(1，

3

2

)代入椭圆E的方程，能求出椭圆E的方程．
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），由S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|yo|=1，能求出点P的坐标．

解答： 解：（1）∵椭圆中心E在坐标原点，焦点在x轴上，
且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三点，
∴设椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)
将C(1，

3

2

)代入椭圆E的方程，得

1

4

+

9 4

b2

=1，（3分）
解得b²=3，∴椭圆E的方程

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），
∴S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|yo|=1，（6分）
又∵c=

a2-b2

=1，
∴|F₁F₂|=2，
∴

1

2

×2×|y0|=1（7分）
解得y₀=±1，代入椭圆E的方程解得x₀=±

2 6

3

．（8分）
故点P的坐标为：（

2 6

3

，1）或（-

2 6

3

，1）或（

2 6

3

，-1）或（-

2 6

3

，-1）．（10分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想和合理运用．