Question

已知函数f（x）=x²+2（a-1）x+2．
（1）当a=2时，写出f（x）的单调区间；
（2）若该函数的单调递减区间为（-∞，4]，求实数a的值；
（3）若该函数在（-∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=2时，求出函数图象的开口方向和对称轴，进而可得函数的单调区间．
（2）求出函数图象的对称轴，利用函数的单调递减区间为（-∞，4]，确定对称轴和区间之间的关系，进而求出a值；
（3）求出函数图象的对称轴，利用函数在（-∞，4]上单调递减，确定对称轴和区间之间的关系，进而求出a值；

解答： 解：（1）当a=2时，函数f（x）=x²+2（a-1）x+2=x²+2x+2，
其图象是开口朝上且以直线x=-1为对称轴的抛物线；
故函数f（x）在（-∞，-1]上单调递减，在[-1，+∞）上单调递增．
（2）函数f（x）=x²+2（a-1）x+2的图象是开口朝上且以直线x=1-a为对称轴的抛物线；
故函数f（x）在（-∞，1-a]上单调递减，
又由函数f（x）的单调递减区间为（-∞，4]，
则1-a=4，
解得a=-3；
（3）由（2）得函数f（x）在（-∞，1-a]上单调递减，
又由函数f（x）在（-∞，4]上单调递减，
∴（-∞，4]⊆（-∞，1-a]，
∴1-a≥4，
解得a≤-3．
故实数a的取值范围为（-∞，-3]．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数对称轴和单调性之间的关系是解决本题的关键．