Question

对于平面直角坐标系内任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“折线距离”：
d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．则下列命题正确的个数是（　　）
①若A（-1，3），B（1，0），则d（A，B）=5；
②若点C在线段AB上，则d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）；
③在△ABC中，一定有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）；
④在平行四边形ABCD中，一定有d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D）．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义

分析：利用“折线距离”：d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|，对①②③④逐个判断即可．

解答： 解：①∵A（-1，3），B（1，0），则d（A，B）=|1-（-1）|+|0-3|=2+5=5，故①正确；
②设直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设C点坐标为（x₀，y₀），
∵点C在线段AB上，
∴x₀在x₁、x₂之间，y₀在y₁、y₂之间，不妨令x₁＜x₀＜x₂，y₁＜y₀＜y₂，
则d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|
=x₀-x₁+y₀-y₁+x₂-x₀+y₂-y₀
=x₂-x₁+y₂-y₁
=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
=d（A，B）成立，故②正确；
③在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|≥|（x₀-x₁）+（x₂-x₀）|+|（y₀-y₁）+（y₂-y₀）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|，
故③不一定成立；
④在平行四边形ABCD中，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），

则d（A，B）=d（C，D），d（A，D）=d（C，B），
∴d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D），即④正确；
∴命题正确的是①②④，
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查创新思维与逻辑思维，考查等价转化思想与运算作图能力，属于难题．