Question

已知平面内一动点P到点F（2，0）的距离比点P到y轴的距离大2，
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为2

2

的直线交轨迹C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，P（x₃，y₃）（x₃≥0）为轨迹C上一点，若

OP

=

OA

+λ

OB

，求λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

(x-2)2+y2

=|x|+2，由此能求出动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）过点F且斜率为2

2

的直线：y=2

2

（x-2），由

y=2 2 (x-2) y2=8x

，推导出A（1，-2

2

），B（4，4

2

），由P（x₃，2

2x3

），

OP

=

OA

+λ

OB

，能求出λ的值．

解答： 解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），
∵平面内一动点P到点F（2，0）的距离比点P到y轴的距离大2，
∴

(x-2)2+y2

=|x|+2，
当x≥0时，整理，得y²=8x，
当x＜0时，整理，得y²=0，
∴动点P的轨迹方程为y²=8x，x≥0，或y=0，x＜0．
（Ⅱ）∵过点F且斜率为2

2

的直线：y=2

2

（x-2），
该直线轨迹C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，
∴

y=2 2 (x-2) y2=8x

，整理，得x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4，∴A（1，-2

2

），B（4，4

2

），
∵P（x₃，y₃）（x₃≥0）为轨迹C上一点，
∴P（x₃，2

2x3

），
∵

OP

=

OA

+λ

OB

，
∴（x₃，2

2x3

）=（1，-2

2

）+（4λ，4

2

λ）=（1+4λ，-2

2

+4

2

λ），
∴

x3=1+4λ 2 2x3 =-2 2 +4 2 λ

，
整理，得

1+4λ

=-1+2λ，
解得λ=0（舍），或λ=2，
∴λ=2．

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的实数λ的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．