Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A（-7，5）、B（-1，-1）两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l：y=x+m交双曲线C于M、N两点，且线段MN被圆E：x²+y²-12x+n=0（n∈R）三等分，求实数m、n的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线C的方程是λx²+μy²=1，代入A（-7，5）、B（-1，-1）两点，即可求双曲线C的方程；
（2）将l：y=x+m代入2y²-x²=1，求出MN的中点P的坐标，利用k_PE=-1，求出m，求出直线l截圆E所得弦长，可得圆的方程，即可得出结论．

解答： 解：（1）设双曲线C的方程是λx²+μy²=1，依题意有

49λ+25μ=1 λ+μ=1

…（2分）
解得λ=-1，μ=2…（3分）  
所以所求双曲线的方程是2y²-x²=1…（4分）
（2）将l：y=x+m代入2y²-x²=1，得x²+4mx+（2m²-1）=0…（*）
∴△=（4m）²-4（2m²-1）=8m²+4＞0…（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），则x₁+x₂=-4m，x1x2=2m2-1…（7分）
则x0=

x1+x2

2

=-2m，y₀=x₀+m=-m，
∴P（-2m，-m）…（8分）
又圆心E（6，0），依题意k_PE=-1，故

m

6+2m

=-1，即m=-2…（9分）
将m=-2代入（*）得x²-8x+7=0，解得x₁=1，x₂=7，
∴|MN|=

1+12

|x1-x2|=6

2

…（10分）
故直线l截圆E所得弦长为

1

3

|MN|=2

2

，
又E（6，0）到直线l的距离d=2

2

…（11分）
∴圆E的半径R=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

∴圆E的方程是（x-6）²+y²=10…（12分）
∴m=-2，n=26…（13分）

点评：本题考查双曲线方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，正确求出双曲线方程是关键．