Question

直线y=x+1交x轴于点P，交椭圆

x2

a2

-

y2

b2

=1于相异两点A、B，且

PA

=-3

PB

．
（1）求a的取值范围；
（2）将弦AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，设点Q坐标为（m，n），求证：m+7n=-1．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由y=x+1，

x2

a2

+

y2

b2

=1联立，得（a²+b²）y²-2b²y+b²-a²b²=0，设A（y₁-1，y₁），B（y₂-1，y₂），由根的判别式和韦达定理能求出a的取值范围．
（2）由题疫知

AB

=（4y₂，4y₂），

AQ

=（-4y₂，4y₂），由此推导出m=-7y₂-1，n=y₂，从而能够证明m+7n=-1．

解答： 解：（1）由y=x+1，得x=y-1，
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得（a²+b²）y²-2b²y+b²-a²b²=0，
设A（y₁-1，y₁），B（y₂-1，y₂），则y₁，y₂是这个一元二次方程的根，
△=（-2b²）²-4（a²+b²）（b²-a²b²）＞0，
∴a²+b²＞1，①
由

PA

=-

PB

，P（-1，0）得y₁=-3y₂，
y₁+y₂=-2y₂=

2b2

a2+b2

，②
y₁y₂=-3y₂=

b2-a2b2

a2+b2

，③
由②式得y2=-

b2

a2+b2

，代入③式，得-

3b4

(a2+b2)

=

b2-a2b2

a2+b2

，
∴b2=

a2(a2-1)

4-a2

，④
由a＞b，及①④，得

a2+ a2(a2-1) 4-a2 ＞1 a2＞ a2(a2-1) 4-a2

，
解不等式组，得1＜a²＜

5

2

，
又∵a＞0，
∴a的取值范围是（1，

10

2

）．
（2）证明：

AB

=（y₂-y₁，y₂-y₁）=（4y₂，4y₂），
依题意

AQ

=（-4y₂，4y₂），
∵

OQ

=

OA

+

AQ

，
∴（m-n）=（y₁-1，y₁）+（-4y₂，4y₂）
=（-3y₂-1，-3y₂）+（-4y₂，4y₂）=（-7y₂-1，y₂），
∴m=-7y₂-1，n=y₂，
∴m+7n=-1．

点评：本题考查a的取值范围的求法，考查等式的证明，解题时要注意平面向量的运算，合理地运用函数与方程思想、等价转化思想．