Question

已知函数f（x）=

3

sin（π-ωx）-sin（

π

2

-ωx）（ω＞0）的图象与x轴相邻两交点的距离为π．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求

b-c

a

的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用诱导公式及三角恒等变换，化简可得f（x）=2sin（ωx-

π

6

），再利用正弦函数的图象与性质可知T=2π，故ω=1；
（Ⅱ）f（A）=2⇒sin（A-

π

6

）=1，在△ABC中，依题意，易求A=

2π

3

，利用正弦定理，将边之比转化为相应角的正弦比，利用三角恒等变换可得

b-c

a

=

sinB-sinC

sinA

=2sin（

π

6

-C），于是可求得其取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin（π-ωx）-sin（

π

2

-ωx）=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），
由题意知T=2π，故ω=1．
（Ⅱ）f（A）=2，即sin（A-

π

6

）=1，又-

π

6

＜A-

π

6

＜

11π

6

，
∴A-

π

6

=

π

2

，A=

2π

3

．

b-c

a

=

sinB-sinC

sinA

=

2 3

3

[sin（

π

3

-C）-sinC]=2sin（

π

6

-C），
0＜C＜

π

3

∴-

π

6

＜

π

6

-C＜

π

6

，
∴

b-c

a

=2sin（

π

6

-C）∈（-1，1）．

点评：本题考查诱导公式及三角恒等变换的应用，考查正弦函数的图象与性质、正弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．