Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-n．
（1）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）记b_n=log₂（a_n+1），求数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在已知的数列递推式中取n=1求得数列首项，取n=n-1得另一递推式，两式作差可得a_n=2a_n-1+1（n≥2），然后利用构造法可得数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列；
（2）由数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列求得an+1=2•2n-1=2n，代入b_n=log₂（a_n+1）后求出b_n=n，再代入

1

bn•bn+1

后利用裂项相消法求和．

解答： （1）证明：当n=1时，由S_n=2a_n-n得，S₁=a₁=2a₁-1，解得a₁=1；
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-n+1，则a_n=2a_n-n-2a_n-1+n-1，
∴a_n=2a_n-1+1（n≥2），
则a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2）．
∴数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列；
（2）解：由数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列，得an+1=2•2n-1=2n，
∴b_n=log₂（a_n+1）=log22n=n，
则

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．