Question

已知圆C经过A（1，

3

）、B（

2

，-

2

），且圆心在直线y=x上．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l的方程为（t³+2t）x+（t³+t+1）y-（t³+2t）=0，
①证明：对任意实数t，直线l过定点P；
②过动点M作圆C的两条切线，切点分别为A和B，且有

MA

•

MB

=0，求M的轨迹方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）利用待定系数法求出圆心和半径即可求圆C的方程；
（2）①将直线方程进行整理，即可求得定点坐标，②根据

MA

•

MB

=0，即可得到结论．

解答： 解：（1）设圆心坐标为C（a，a），
则由|CA|=|CB|得

(a-1)2+(a- 3 )2

=

(a- 2 )2+(a+ 2 )2

，
解得a=0，
即圆心C（0，0），
则半径r=|CA|=

(a-1)2+(a- 3 )2

=

1+3

=

4

=2，
则圆C的方程为x²+y²=4；
（2）∵（t³+2t）x+（t³+t+1）y-（t³+2t）=0，
∴（t³+2t）（x-1）+（t³+t+1）y=0，
∴当x=1，y=0时，方程（t³+2t）（x-1）+（t³+t+1）y=0恒成立，
即对任意实数t，直线l过定点P（1，0）．
∵过动点M作圆C的两条切线，切点分别为A和B，且有

MA

•

MB

=0，
∴ACBM是正方形，
∴M的轨迹方程是x²+y²=8．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．利用待定系数法是解决本题的关键．