Question

定义函数G（x，y）=x^y，其中，x＞0，y＞0．
（Ⅰ）设函数f（x）=G（1，x³-3x），求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设函数h（x）=G（2，log₂（x³+ax²+bx+1））的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x（x∈[4，8]）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当x∈N^*，y∈N^*且x＜y时，试比较G（x，y）与G（y，x）的大小（只写出结论）．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）化简f（x）=G（1，x³-3x）=1，则有x³-3x＞0；从而求函数的定义域；
（Ⅱ）化简h（x）=G（2，log₂（x³+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1；从而可得x³+ax²+bx＞0；求导h′（x）=3x²+2ax+b=-8得b=-3x²-2ax-8，从而化为存在x∈[4，8]使-2x³-ax²-8x＞0，从而化为最值问题．
（Ⅲ）由定义写出当x∈N^*，y∈N^*，x≤2时，x=1，y=2，或x=2，y=3时，G（x，y）＜G（y，x）；x≥3时，G（x，y）＞G（y，x）．

解答： 解：（Ⅰ）因为G（x，y）=x^y，x，y∈（0，+∞）
由f（x）=G（1，x³-3x），则有x³-3x＞0；
所以 函数的定义域为(-

3

，0)∪(

3

，+∞)；
（Ⅱ）因为G（x，y）=x^y，x，y∈（0，+∞），
所以g(x)=G(2，log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1，
log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，得x³+ax²+bx+1＞1．
即x³+ax²+bx＞0，
因为g′（x）=3x²+2ax+b=-8，得b=-3x²-2ax-8．
所以x³+ax²+bx=x³+ax²+x（-3x²-2ax-8）
=-2x³-ax²-8x＞0；
存在x∈[4，8]使-2x³-ax²-8x＞0．
所以2x²+ax+8＜0，
存在x∈[4，8]使a＜-2x-

8

x

，
所以a＜(-2x-

8

x

)max，
由于-2x-

8

x

在x∈[4，8]上单调递减，
所以当x=4时，-2x-

8

x

有最大值为-10．
所以，a的取值范围是（-∞，-10）．
（Ⅲ）当x∈N^*，y∈N^*，x≤2时，x=1，y=2，或x=2，y=3时，G（x，y）＜G（y，x）；
x≥3时，G（x，y）＞G（y，x）．

点评：本题考查了抽象函数的应用及存在性问题的应用，同时考查了多元函数的应用，属于中档题．