Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），点A是椭圆C的右顶点，点O为坐标原点，在一象限椭圆C上存在一点P，使AP⊥OP，则椭圆的离心率范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由题意，点P在以AO为直径的圆上，求出该圆的方程；
由圆的方程与椭圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，得出该方程的两根分别为点P、A的横坐标，得到P的横坐标；
再根据P的横坐标小于a且大于0，建立关于a、b、c的不等式，从而求得该椭圆离心率的取值范围．

解答： 解：如图所示，
∵AP⊥0P，∴点P在以AO为直径的圆上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO为直径的圆方程为(x-

a

2

)2+y²=

a2

4

，即x²+y²-ax=0，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2-ax=0

消去y，得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0．
设P（m，n），
∵P、A是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1与x²+y²-ax=0两个不同的公共点，
∴m+a=

-a3

b2-a2

，ma=

-a2b2

b2-a2

，
∴m=

ab2

a2-b2

．
∵由图形得0＜m＜a，∴0＜

ab2

a2-b2

＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²
∴a＜

2

c，
∴椭圆离心率e=

c

a

＞

2

2

，
又∵e∈（0，1），
∴椭圆的离心率e的取值范围为（

2

2

，1）．
故答案为：（

2

2

，1）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程与简单几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的应用问题，解题时应注意椭圆以及离心率满足的条件是什么，是中档题目．