Question

已知函数f（x）=（-x²+ax）e^x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x∈（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，令g（x）=-x²+（a-2）x+a，故g（x）的符号与f′（x）的符号相同．求得g（x）＞0时x的范围，可得f（x）的增区间；再求得g（x）＜0时x的范围，可得f（x）的减区间．
（2）若函数f（x）在x∈（-1，1）上单调递增，则f′（x）≥0在（-1，1）上恒成立，即a≥

x2+2x

x+1

 在（-1，1）上恒成立．设h（x）=

x2+2x

x+1

，利用导数求得h（x）＜h（1）=

3

2

，可得a的范围．

解答： 解：（1）由题意可得f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，令g（x）=-x²+（a-2）x+a，∵e^x＞0，
故g（x）的符号与f′（x）的符号相同．
对于g（x），由于△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，令g（x）=0，求得x=

(a-2)± a2+4

2

，
故当x∈（-∞，

a-2- a2-4

2

）∪（

a-2+ a2-4

2

，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0；
当x∈（

a-2- a2-4

2

，

a-2+ a2-4

2

 ）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，
故函数的增区间为∈（-∞，

a-2- a2-4

2

）、（

a-2+ a2-4

2

，+∞），减区间为（

a-2- a2-4

2

，

a-2+ a2-4

2

 ）．
（2）若函数f（x）在x∈（-1，1）上单调递增，则f′（x）≥0在（-1，1）上恒成立．
即-x²+（a-2）x+a≥0在（-1，1）上恒成立，即 a≥

x2+2x

x+1

 在（-1，1）上恒成立．
设h（x）=

x2+2x

x+1

，在（-1，1）上，h′（x）=

(x+1)2+1

(x+1)2

＞0，∴h（x）在（-1，1）上是增函数，∴h（x）＜h（1）=

3

2

，
故a≥

3

2

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．