在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$.以原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程,(Ⅱ)已知曲线C3的极坐标方程为θ=α.0＜α＜π.ρ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C₃的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C₃与C₁的交点，点B是曲线C₃与C₂的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4$\sqrt{2}$，求实数a的值．

分析（Ⅰ）由曲线C₁的参数方程消去参数能求出曲线C₁的普通方程；曲线C₂的极坐标方程化为ρ²=4ρsinθ，由此能求出C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C₁化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A（ρ₁，α₁），B（ρ₂，α₂），从而得到|AB|=|ρ₁-ρ₂|=|4sinα-4cosα|=4$\sqrt{2}$|sin（$α-\frac{π}{4}$）|=4$\sqrt{2}$，进而sin（$α-\frac{π}{4}$）=±1，由此能求出结果．

解答解：（Ⅰ）由曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），
消去参数得曲线C₁的普通方程为（x-2）²+y²=4．
∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，
∴C₂的直角坐标方程为x²+y²=4y，整理，得x²+（y-2）²=4．
（Ⅱ）曲线C₁：（x-2）²+y²=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ，
设A（ρ₁，α₁），B（ρ₂，α₂），
∵曲线C₃的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C₃与C₁的交点，
点B是曲线C₃与C₂的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4$\sqrt{2}$，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=|4sinα-4cosα|=4$\sqrt{2}$|sin（$α-\frac{π}{4}$）|=4$\sqrt{2}$，
∴sin（$α-\frac{π}{4}$）=±1，
∵0＜α＜π，∴$-\frac{π}{4}＜α＜\frac{3π}{4}$，
∴$α-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，解得$α=\frac{3π}{4}$．

点评本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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