Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N*）在函数y=x²-10x的图象上，等差数列{b_n}满足b_n+b_n+1=a_n（n∈N*），其前n项和为T_n，则下列结论正确的是（　　）

• A． S_n＜2T_n
• B． b₄=0
• C． T₇＞b₇
• D． T₅=T₆

Answer 1

分析 先求出${S}_{n}={n}^{2}-10n$，从而a_n=2n-11．由等差数列{b_n}满足b_n+b_n+1=a_n（n∈N*），求出{b_n}是公差d=1，首项b₁=-5的等差数列，由此能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N*）在函数y=x²-10x的图象上，
∴${S}_{n}={n}^{2}-10n$，
∴a₁=1-10=-9，
a_n=S_n-S_n-1=（n²-10n）-[（n-1）²-10（n-1）]=2n-11，（n≥2）
当n=1时，a_n=2-11=-9=a₁，
∴a_n=2n-11．
∵等差数列{b_n}满足b_n+b_n+1=a_n（n∈N*），
∴b₁+b₂=-9，b₂+b₃=a₂=4-11=-7，
（b₂+b₃）-（b₁+b₂）=b₃-b₁=2d=-7+9=2，
∴d=1，b₁=-5，
∴T_n=-5n+$\frac{n（n-1）}{2}×1$=$\frac{{n}^{2}-11n}{2}$．
在A 中，S_n-2T_n=（n²-10n）-（n²-11n）=n＞0，∴S_n＞2T_n，故A错误；
在B中，b₄=-5+3×1=-2，故B错误；
在C中，T₇-b₇=[7×（-5）+$\frac{7×6}{2}×1$]-（-5+6）=-14-1=-15＜0，
∴T₇＜b₇，故C错误；
在D中，T₅-T₆=[5×（-5）+$\frac{5×4}{2}×1$]-[6×（-5）-$\frac{6×5}{2}×1$]=0，
∴T₅=T₆，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，涉及到函数性质、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．