Question

6．设函数f（x）=x²-alnx-（a-2）x
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，求满足条件的最小正整数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），并对a分类讨论即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合根的存在性原理，可以判断存在a₀∈（2，3），h（a₀）=0，当a＞a₀，h（a）＞0；

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=2x-（a-2）-\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-（a-2）x-a}}{x}=\frac{（2x-a）（x+1）}{x}$．
当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以函数f（x）单调递增区间为（0，+∞），此时f（x）无单调减区间．
当a＞0时，由f′（x）＞0，得$x＞\frac{a}{2}$，
由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{a}{2}$，得$0＜x＜\frac{a}{2}$，
所以函数的单调增区间为（$\frac{a}{2}$，+∞），单调减区间为（0，$\frac{a}{2}$）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）有两个零点，
所以a＞0，f（x）的最小值$f（\frac{a}{2}）＜0$，即-a²+4a-4aln$\frac{a}{2}$＜0．
因为a＞0，所以$a-4+4ln\frac{a}{2}＞0$．
令h（a）=a-4+4ln$\frac{a}{2}$，显然h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）=-2＜0，h（3）=4ln$\frac{3}{2}$-1＞0，
所以存在a₀∈（2，3），h（a₀）=0．
当a＞a₀时，h（a）＞0；当0＜a＜a₀时，h（a）＜0，
所以满足条件的最小正整数a=3．
又当a=3时，F（3）=3（2-ln3）＞0，F（1）=0，
所以a=3时，f（x）有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．

点评 本题考查了利用导数求函数的单调区间以及根的存在性原理的运用．