Question

8．已知公比不为1的等比数列{a_n}的前3项积为27，且2a₂为3a₁和a₃的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=b_n-1•log₃a_n+1（n≥2，n∈N^*），且b₁=1，求数列{$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+2}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的性质列方程解出公比和a₂，从而得出通项a_n；
（2）化简递推式可得$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=n，使用累乘法得出通项b_n，从而得出{$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+2}}$}的通项，利用裂项法求出S_n．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q，
则a₁a₂a₃=a₂³=27，∴a₂=3，∴a₁=$\frac{3}{q}$，a₃=3q，
∵2a₂为3a₁和a₃的等差中项，
∴4a₂=3a₁+a₃，即12=$\frac{9}{q}$+3q，解得q=3或q=1（舍）．
∴a_n=3^n-1．
（2）∵b_n=b_n-1•log₃a_n+1=nb_n-1，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=n，又b₁=1，
∴b_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$•$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•$\frac{{b}_{n-2}}{{b}_{n-3}}$•…•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=n!，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+2}}$=$\frac{n!}{（n+2）!}$=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴S_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查了等比数列的性质，数列求和，属于中档题．