Question

设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．
（1）求椭圆方程；
（2）若M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，是否存在动点P（x₁，y₁），若

OP

=

OM

+2

ON

，有x₁²+2y₁²为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得2a=4，

c2

4

+

1

b2

=1，由此能求出椭圆方程．
（2）存在这样的点P（x₁，y₁）．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由k_OM•k_ON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，结合已知条件能推导出存在这样的点P（x₀，y₀）．

解答： 解：（1）因为2a=4，所以，a=2，（2分）
∵过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．
∴由椭圆的对称性知，椭圆过点（c，1），即

c2

4

+

1

b2

=1，（4分）
c²=4-b²，解得b²=2，
椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（7分）
（2）存在这样的点P（x₁，y₁）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则k_OM•k_ON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，化简为x₁x₂+2y₁y₂=0，（9分）
∵M，N是椭圆C上的点，∴

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，
由

OP

=

OM

+2

ON

，得

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，（11分）
∵x02+2y02=（x₁+2x₂）²+（y₁+2y₂）²
=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=4+4×4+0
=20，
即存在这样的点P（x₀，y₀）．（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．