Question

四面体A-BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AC=BC=CD=BD=2，AB=AD=

2

（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点C到平面AED的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接OC，运用勾股定理的逆定理，证得AO⊥OC，再由线面垂直的判定定理，即可得证；
（2）取AC中点M，连接OM，ME，OE，又E为BC中点，则ME∥AB，OE∥CD，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角，运用解直角三角形，即可得到；
（3）设点C到平面AED的距离为h，由V_C-AED=V_A-CDE，由三棱锥的体积公式，结合余弦定理和面积公式，即可得到点C到平面AED的距离．

解答： （1）证明：连接OC，已知O为BD中点，
AB=AD=

2

，AC=BC=CD=BD=2，
故AO⊥BD，CO⊥BD，
所以OA=

AB2-BO2

=1，OC=

3

，在△AOC中，
OA²+OC²=4=AC²，所以∠AOC=90°，则AO⊥OC，
又AO⊥BD，BD∩OC=O，故AO⊥平面BCD．
（2）解：取AC中点M，连接OM，ME，OE，又E为BC中点，则ME∥AB，OE∥CD，
所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成角，
在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

CD=1，
又OM为Rt△AOC的斜边AC上的中线，故OM=1，
所以cos∠OEM=

2

4

，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为

2

4

．          
（3）解：（体积法）设点C到平面AED的距离为h，因为V_C-AED=V_A-CDE，
即有

1

3

hS_△AED=

1

3

AO•S_△CDE，又CA=BC=2，AB=

2

，设AE=x，则由余弦定理有
cos∠ABC=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

AB2+BE2-AE2

2AB•BE

，即有AE=

2

，△AED为等腰三角形，
而DE=

3

，等腰三角形△AED底边上的高为

5

2

，
故△AED的面积为S_△AED=

1

2

•DE•

5

2

=

15

4

．
则而AO=1，S_△CDE=

1

2

×

3

4

×4=

3

2

，
故h=

2 5

5

，点E到平面ACD的距离为

2 5

5

．

点评：本题考查线面垂直的判定和性质及运用，考查异面直线所成的角的求法，考查点到平面的距离的求法：体积法，考查运算能力，属于中档题．