Question

已知曲线M上动点N满足到点F（0，

5

4

）的距离等于到定直线y=

3

4

的距离，又过点P（1，3）的直线交此曲线于A，B两点，过A，B分别做曲线M的两切线l₁，l₂．
（1）求此曲线M的方程；
（2）当过点P（1，3）的直线变化时，证明l₁，l₂的交点过定直线；
（3）设l₁，l₂的交点为C，求三角形ABC面积的最值．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出曲线上N点的坐标，由题意列出等式，整理后可得曲线方程；
（2）设出直线AB的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的方程，利用根与系数关系求得A，B两点横坐标的和与积，由导数求得l₁，l₂的方程，结合根与系数关系可得l₁，l₂的交点过定直线；
（3）由（2）得C（

k

2

，k-1），求出C到直线AB：y=k（x-1）+3的距离，求得|AB|，代入三角形的面积公式后配方可得三角形ABC面积有最小值2，没有最大值．

解答： （1）解：设曲线上的点N坐标为（x，y），由已知条件有：

x2+(y- 5 4 )2

=|y-

3

4

|，化简得y=x²+1，
∴曲线M方程为：y=x²+1；
（2）证明：∵过点P的直线交此曲线M于A，B两点，
∴直线AB的斜率存在，设为k，
故直线AB方程为：y=k（x-1）+3，联立y=x²+1 消去y得：x²-kx+k-2=0，
显然△=（-k）²-4（k-2）=（k-2）²+4＞0，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则：x₁+x₂=k，x₁x₂=k-2，
于是l₁：y-y1=f′(x1)(x-x1)=2x1(x-x1)，即l₁：y=2x₁x-kx₁+k-1 ①，
同理有l₂：y=2x₂x-kx₂+k-1 ②，
由①②消去x₁，x₂可得：x=

k

2

，y=k-1，
∴l₁，l₂的交点过定直线y=2x-1；
（3）解：由（2）得C（

k

2

，k-1），
∴C到直线AB：y=k（x-1）+3的距离为：
d=

|k( k 2 -1)+3-(k-1)|

1+k2

=

(k-2)2+4

2 1+k2

．
又|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(k-2)2+4

，
∴S△ABC=

1

2

•d•|AB|=

1

4

(k-2)2+4

•[(k-2)2+4]．
故k=2时，三角形ABC面积有最小值2，没有最大值．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，训练了利用导数求曲线的切线方程，训练了利用配方法求函数的最值，是压轴题．