Question

数列{a_n}是等差数列且a₂=4，a₄=5，数列{b_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3b_n-3（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_nb_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式由已知条件求出首项和公差，由此能求出a_n=

n

2

+3．由2S_n=3b_n-3，推导出{b_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，由此求出b_n=3ⁿ．
（Ⅱ）由a_nb_n=（

n

2

+3）•3ⁿ=

6+n

2

•3n，利用错位相减法能求出数列{a_nb_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是等差数列且a₂=4，a₄=5，
∴

a1+d=4 a1+3d=5

，解得a1=

7

2

，d=

1

2

，
∴a_n=

7

2

+（n-1）×

1

2

=

n

2

+3．
∵2S_n=3b_n-3，①
∴2S_n-1=3b_n-1-3，n≥2，②
①-②，得2b_n=3b_n-3b_n-1，
∴

bn

bn-1

=3，
又2b₁=3b₁-3，解得b₁=3，
∴{b_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴b_n=3ⁿ．
（Ⅱ）∵a_nb_n=（

n

2

+3）•3ⁿ=

6+n

2

•3n，
∴T_n=

7

2

•3+

8

2

•32+…+

6+n

2

•3n，①
3T_n=

7

2

•32+

8

2

•33+…+

6+n

2

•3n+1，②
①-②，-2T_n=

7

2

•3+

1

2

（3²+3³+…+3ⁿ）-

6+n

2

•3n+1
=

21

2

+

1

2

•

9(1-3n-1)

1-3

-

6+n

2

•3n+1
=

21

2

+

1

4

•3n+1-

9

4

-

6+n

2

•3n+1，
∴T_n=

6+n

4

•3n+1-

33

4

-

1

8

•3n+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．