Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：根据当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，可得

f(x)

x

为增函数，结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，可分析出在各个区间上，

f(x)

x

和f（x）的符号，进而可得不等式f（x）＞0的解集．

解答： 解：∵当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，
∴当x＞0时，

f(x)

x

为增函数，
又∵f（1）=0，
∴当x＞1时，

f(x)

x

＞0，f（x）＞0，当0＜x＜1时，

f(x)

x

＜0，f（x）＜0，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴

f(x)

x

是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
故当x＜-1时，

f(x)

x

＞0，f（x）＜0，当-1＜x＜0时，

f(x)

x

＜0，f（x）＞0，
故f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞），
故选：A

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的单调性，是函数图象和性质与导函数的综合应用，难度中档．