Question

过点（-1，1）的直线与圆x²+y²-2x-4y-11=0截得的弦长为4

3

，则该直线的方程为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：分类讨论：过点（-1，1）的直线与x轴垂直时，直接验证即可；过点（-1，1）的直线与x轴垂直时，设直线的方程为：y-1=k（x+1），利用点到直线的距离公式可得：圆心C到此直线的距离d．利用弦长公式4

3

=2

r2-d2

，即可解得k．

解答： 解：由圆x²+y²-2x-4y-11=0化为：（x-1）²+（y-2）²=16，得到圆心C（1，2），半径r=4．
①过点（-1，1）的直线与x轴垂直时，把x=-1代入圆的方程：（-1）²+y²-2×（-1）-4y-11=0，
化为y²-4y-8=0，解得y₁=2-2

3

，y2=2+2

3

．
∴弦长=y₂-y₁=4

3

．满足题意．
②过点（-1，1）的直线与x轴垂直时，设直线的方程为：y-1=k（x+1），即kx-y+k+1=0．
圆心C到此直线的距离d=

|k-2+k+1|

k2+1

=

|2k-1|

k2+1

．
∴4

3

=2

r2-d2

，即2

3

=

16-( 2k-1 k2+1 )2

，化为4k=-3，解得k=-

3

4

．
∴直线的方程为：-

3

4

x-y-

3

4

+1=0，化为3x+4y-1=0．
综上可知：所求直线的方程为x=-1或3x+4y-1=0．
故答案为：x=-1或3x+4y-1=0．

点评：本题考查了直线与圆相交的问题、弦长公式、点到直线的距离公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．