题目内容
某家庭手工坊生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为10元，并且每件玩具的加工费为2元，设该手工厂作坊每件玩具的卖出价为x元（15≤x≤21），根据市场调查，日销售量c=
（k为常数）．当每件玩具的出厂价为20元时，日销售量为10件．
（1）求该手工作坊的日利润y（元）与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；
（2）当每件玩具的售价为多少元时，该手工作坊的利润y最大，并求y的最大值．
| 2k |
| x2-128 |
（1）求该手工作坊的日利润y（元）与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；
（2）当每件玩具的售价为多少元时，该手工作坊的利润y最大，并求y的最大值．
考点：基本不等式在最值问题中的应用
专题：应用题,函数的性质及应用
分析：（1）根据日销售量c=
（k为常数），当每件玩具的出厂价为20元时，日销售量为10件，确定日销售量函数；
（2）求导数，可得极大值，也是最大值，从而可得结论．
| 2k |
| x2-128 |
（2）求导数，可得极大值，也是最大值，从而可得结论．
解答：
解：（1）∵日销售量c=
（k为常数），当每件玩具的出厂价为20元时，日销售量为10件，
∴10=
，
∴k=1360，
∴日销售量c=
∴日利润y=（x-10-2）•
=（x-12）•
（15≤x≤21）；
（2）y′=2720•
=0，可得x=8或x=16，
∵15≤x≤21，
∴15≤x≤16时，y′＜0，16≤x≤21时，y′＞0，
∴x=16时，函数取得极大值，也是最大值，此时，y=85，
∴当每件玩具的售价为16元时，该手工作坊的利润y最大为85元．
| 2k |
| x2-128 |
∴10=
| 2k |
| 400-128 |
∴k=1360，
∴日销售量c=
| 2720 |
| x2-128 |
∴日利润y=（x-10-2）•
| 2720 |
| x2-128 |
| 2720 |
| x2-128 |
（2）y′=2720•
| x2-128-(x-12)•2x |
| (x2-128)2 |
∵15≤x≤21，
∴15≤x≤16时，y′＜0，16≤x≤21时，y′＞0，
∴x=16时，函数取得极大值，也是最大值，此时，y=85，
∴当每件玩具的售价为16元时，该手工作坊的利润y最大为85元．
点评：本题考查数学模型和目标函数的建立，解题的关键是把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．
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