题目内容
已知A，B是曲线y=x3-ax上不同的两点，过点A，B两点的切线都与直线AB垂直，求证：|a|≥
．
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考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：综合题,导数的概念及应用
分析：由过A、B两点的切线都垂直于直线AB可知两切线平行，根据切线与AB垂直建立等量关系，验证判别式即可．
解答：
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），
∵y=x3-ax，
∴y′=3x2-a，
∵过点A，B两点的切线都与直线AB垂直，
∴3x12=3x22，
∵x1≠x2，
∴x1=-x2，
于是y1=-y2，kAB=
=
=x12-a，
∵过A点的切线垂直于直线AB，
∴（3x12-a）（x12-a）=-1，
∴3x14-4ax12+a2+1=0，
∴16a2-12（a2+1）≥0，
∴|a|≥
．
∵y=x3-ax，
∴y′=3x2-a，
∵过点A，B两点的切线都与直线AB垂直，
∴3x12=3x22，
∵x1≠x2，
∴x1=-x2，
于是y1=-y2，kAB=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| y1 |
| x1 |
∵过A点的切线垂直于直线AB，
∴（3x12-a）（x12-a）=-1，
∴3x14-4ax12+a2+1=0，
∴16a2-12（a2+1）≥0，
∴|a|≥
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点评：本题主要考查了利用导数研究函数的切线值，考查利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
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