Question

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

1

2

），

m

=（1，1），

m

∥

n

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）利用两向量平行，求得关系式cosBcosC=sinBsinC-

1

2

，求得cos（B+C）进而求得A．
（Ⅱ）利用余弦定理建立关于bc的等式，利用基本不等式取得bc的范围，最后代入三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

，
∴cosBcosC=sinBsinC-

1

2

，
∴cos（B+C）=-

1

2

，
∵A+B+C=π，
∴cos（B+C）=-cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=b²+c²-bc，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤4，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

．

点评：本题主要考查了平面向量的应用，余弦定理的应用，基本不等式等相关知识．综合考查了学生对数学基础知识的运用．