Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若s₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

an+6

(n+1)Sn

}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：解：（Ⅰ）以题意，由前n项和公式及通项公式列出方程组

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

求出a₁=6，d=4，用公式求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）求出

an+6

(n+1)Sn

=

4n+2+6

(n+1)(2n2+4n)

4(n+2)

2n(n+1)(n+2)

=

2

n(n+1)

利用裂项相消求出前n项和为T_n，证出不等式．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，有

S5=70 a7=a2•a22

即

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

解得a₁=6，d=4，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=4n+2；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得Sn=2n2+4n，
∴

an+6

(n+1)Sn

=

4n+2+6

(n+1)(2n2+4n)

4(n+2)

2n(n+1)(n+2)

=

2

n(n+1)

，
∴Tn=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)，∵

1

n+1

＞0
∴Tn=2(1-

1

n+1

)＜2．

点评：本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式；考查数列求和的方法常考的求和的方法有错位相减法和裂项相消法．