Question

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=

2

3

，且S₂+

1

2

a₂=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=log 

1

3

a 2 n

4

，求数列{

bn

an

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，列出方程组求出q=

1

3

，代入通项公式求出通项；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{

bn

an

}的通项公式，利用错位相减的方法求出数列{

bn

an

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
由题意得

2

3

+

2

3

q+

1

2

•

2

3

q=1
解得q=

1

3

∴an=a1qn-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

（Ⅱ）记b_n=log 

1

3

a 2 n

4

=log332n=2n，
又an=

2

3n

∴

bn

an

=n•3n
∴Tn=1×31+2×32+3×33+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ①
3Tn=1×32+2×33+3×34+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹②
由①-②得-2Tn=3+32+33+34+…+3n-n×3n+1=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1
=

3

2

(3n-1)-n•3n+1
=(

1

2

-n)•3n+1-

3

2

Tn=

3

4

+

1

4

(2n-1)•3n+1；

点评：本题考查等比数列的通项公式；考查数列前n项和的方法；错位相减与裂项相消是常见的方法．