Question

若函数f（x）=

a-x

+

x

（a为常数），对于定义域内的任意两个实数x₁、x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜1成立，用S（a）表示满足条件的所有正整数a的和，则S（a）=

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：利用三角函数换元法，求出函数f（x）的最大值和最小值，即可得到结论．

解答： 解：设

x

=

a

cosθ，则

a-x

=

a

sinθ，θ∈[0，

π

2

]，
则f（x）=

a-x

+

x

=

a

sinθ+

a

cosθ=

2a

sin（θ+

π

4

），
∵0≤θ≤

π

2

，
∴

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

，
∴f_max（x）=

2a

，f_min（x）=

a

，
要使对于定义域内的任意两个实数x₁、x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，
则

2a

-

a

=（

2

-1）•

a

＜1，
即

a

＜

1

2 -1

，
∴a＜3+2

2

，
∵a为正整数，
∴a=1，2，3，4，5，
则s（a）=1+2+3+4+5=15，
故答案为：15

点评：本题主要考查函数恒成立问题，利用三角换元法将函数转化，求出函数的最值是解决本题的关键．