Question

设不等式组

x+y+2≥0 x+ay+2≤0

表示的区域为Ω₁，不等式x²+y²≤1表示的平面区域为Ω₂．
（1）若Ω₁与Ω₂有且只有一个公共点，则a=

 

；
（2）记S（a）为Ω₁与Ω₂公共部分的面积，则函数S（a）的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，利用Ω₁与Ω₂有且只有一个公共点，确定直线的位置即可得到结论；
（2）作出Ω₁与Ω₂对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）作出不等式组对应的平面区域，若Ω₁与Ω₂有且只有一个公共点，
则圆心O到直线x+ay+2=0的距离d=1，
即

2

1+a2

=1，即a²=3，解得a=±

3

．

（2）当不等式x²+y²≤1表示的平面区域为Ω₂．
若a=0时，Ω₁与Ω₂公共部分的区域面积最小为0，
当a＞0时，不等式组

x+y+2≥0 x+ay+2≤0

对应的平面区域在圆的下方，此时Ω₁与Ω₂公共部分的区域最大为半圆，面积为

1

2

×π×12=

π

2

；

若a＜0，不等式组

x+y+2≥0 x+ay+2≤0

对应的平面区域在圆的上方，此时Ω₁与Ω₂公共部分的区域最大为半圆，面积为

1

2

×π×12=

π

2

；

总上S（a）∈[0，

π

2

)，
故答案为：±

3

，[0，

π

2

)．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．