题目内容


某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:

(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°;

(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°;

(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°;

(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;

(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.

(1)请根据(2)式求出这个常数;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

(证明步骤尽可能详细!)


解:解法一:

(1)计算如下:

sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=…………..3分

(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=……….7分

证明如下:

sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)

=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)…….10分

=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α

=sin2α+cos2α=……………………………….13分

解法二:

(1)同解法一.

(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=…….7分

证明如下:

sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)

=+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)………10分

=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-sinαcosα-sin2α

=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)

=1-cos2α-+cos2α=…………………13分


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