题目内容
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(1)请根据(2)式求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
(证明步骤尽可能详细!)
解:解法一:
(1)计算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-
sin30°=1-
=
…………..3分
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=
……….7分
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)…….10分
=sin2α+
cos2α+
sinαcosα+
sin2α-
sinαcosα-
sin2α
=
sin2α+
cos2α=
……………………………….13分
解法二:
(1)同解法一.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=
…….7分
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=
+
-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)………10分
=
-
cos2α+
+
(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-
sinαcosα-
sin2α
=
-
cos2α+
+
cos2α+
sin2α-
sin2α-
(1-cos2α)
=1-
cos2α-
+
cos2α=
…………………13分