Question

已知f（x）=

x2+p

x+q

是奇函数，且f（2）=4．
（1）求实数p，q的值；
（2）判断函数f（x）在区间（0，2）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数得f（-2）=-4，联立f（2）=4解得方程组即可，（2）先判断函数的单调性，然后利用导数证明即可．

解答： 解：（1）f（x）是奇函数，f（2）=4，则f（-2）=-4
联立方程组得

4+p 2+q =4 4+p -2+q =-4

，解之得

p=4 q=0

．
（2）由（1）得f（x）=

x2+4

x

=x+

4

x

，
函数f（x）在区间（0，2）上的单调递减，
证明：
由题意求导数得f′（x）=1-

4

x2

，
∵x∈（0，2），
∴

4

x2

＞1，
∴f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间（0，2）上的单调递减．

点评：本题考察函数的奇偶性和单调性，利用导数符号判断和证明单调性是常用方法．