Question

设实数a、b、c满足c≥b≥a＞0，且a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

，求证：ab²c³≥1．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：首先运用放缩法，由于实数a、b、c满足c≥b≥a＞0，则

1

a

≥

1

b

，

1

a

≥

1

c

，得到ab²c³=a²b²c²•

c

a

≥

1

3

a²b²c²•
（

a

a

+

b

a

+

c

a

），再由等式得到≥

1

9

a²b²c²•（

1

a

+

1

b

+

1

c

）²=

1

9

（bc+ac+ab）²，再用均值不等式得到（a+b+c）²≥9，即a+b+c≥3，又abc≥1，即可得证．

解答： 证明：由于实数a、b、c满足c≥b≥a＞0，
则

1

a

≥

1

b

，

1

a

≥

1

c

，
则ab²c³=a²b²c²•

c

a

≥

1

3

a²b²c²•（

a

a

+

b

a

+

c

a

）
由于a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

，则

a

a

+

b

a

+

c

a

=（a+b+c）•

3

3a

≥

1

3

（

1

a

+

1

b

+

1

c

）（

1

a

+

1

b

+

1

c

），
则有

1

3

a²b²c²•（

a

a

+

b

a

+

c

a

）≥

1

9

a²b²c²•（

1

a

+

1

b

+

1

c

）²
=

1

9

（bc+ac+ab）²，
由于a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

，即有abc（a+b+c）=ab+bc+ca，
由于（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥3

3	abc

•3

3	1 abc

=9，
即有（a+b+c）²≥9，即a+b+c≥3，
又abc≥1，
则abc（a+b+c）=ab+bc+ca≥3，
则有

1

9

（bc+ac+ab）²≥1，
故有ab²c³≥1，当且仅当a=b=c=1取等号．

点评：本题考查不等式的证明，考查运用放缩法和均值不等式证明不等式的方法，具有一定的技巧性，属于难题．